Analysis 2: Differentialrechnung im IRn, gewöhnliche by Otto Forster

By Otto Forster

Der zweite Band beschäftigt sich mit der mehrdimensionalen Differentialrechnung sowie mit gewöhnlichen Differentialgleichungen. Bei der Darstellung wird die Theorie durch viele konkrete Beispiele erläutert, insbesondere solche, die für die Physik appropriate sind.

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6) Seien f , g : U → R zwei partiell differenzierbare Funktionen. Dann gilt die Produktregel grad( f g) = g · grad f + f · grad g. Dies folgt aus der Produktregel f¨ur Funktionen einer Ver¨anderlichen, denn ∂ ∂f ∂g ( f g) = g+ f . ∂xi ∂xi ∂xi Schreibweise. Statt grad f schreibt man auch ∇ f , gesprochen Nabla f . Man hat ∇ als vektorwertigen Differentialoperator aufzufassen, ∇= ∂ ∂ , . , . ∂x1 ∂xn § 5 Partielle Ableitungen 53 Definition. Sei U ⊂ Rn eine offene Teilmenge von Rn . Unter einem Vektorfeld auf U versteht man eine Abbildung v : U −→ Rn .

3. Sei A eine Teilmenge von Rn . Zu jeder Folge (xi )i∈N von Punkten xi ∈ A gebe es eine Teilfolge, die gegen einen Punkt a ∈ A konvergiert. Man zeige, dass A kompakt ist. (Vgl. 4. Sei X ein metrischer Raum, Y ⊂ X und x ∈ X 0. Man zeige, dass x ein Randpunkt von Y ist. 5. Sei K eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes X und (Ui )i∈I ¨ eine offene Uberdeckung von K. Man beweise: Es gibt eine Zahl λ > 0 mit folgender Eigenschaft: Zu jeder Teilmenge A ⊂ K mit diam(A) λ existiert ein i ∈ I mit A ⊂ Ui (Lebesguesches Lemma).

Man zeige, dass x ein Randpunkt von Y ist. 5. Sei K eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes X und (Ui )i∈I ¨ eine offene Uberdeckung von K. Man beweise: Es gibt eine Zahl λ > 0 mit folgender Eigenschaft: Zu jeder Teilmenge A ⊂ K mit diam(A) λ existiert ein i ∈ I mit A ⊂ Ui (Lebesguesches Lemma). 6. Seien X ,Y metrische R¨aume, X kompakt und f : X → Y eine stetige bijektive Abbildung. h. f ist ein Hom¨oomorphismus. 7. Man beweise: Jeder kompakte metrische Raum ist vollst¨andig. 8. Seien K und L kompakte Teilmengen von Rn .

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