Analyse 1 by Giroux A.

By Giroux A.

L'analyse mathématique est l'étude approfondie du calcul différentiel et du calcul intégral. Ce cours porte sur le calcul différentiel. On y présente d'abord quatorze axiomes résumant toutes les propriétés des nombres réels que l'on prend pour acquises. À partir de là, on retrouve tout le calcul différentiel, en commençant par l. a. thought de limite d'une suite ou d'une série numérique et son program à los angeles représentation décimale des nombres, en poursuivant avec l. a. suggestion de fonction proceed et l'étude de ses principales propriétés et en terminant par l. a. définition et les propriétés des fonctions dérivables, illustrées par le cas des fonctions convexes. Il s'agit d'un cours formel, avec des démonstrations complètes de tous les théorèmes. Il est, d'un element de vue purement logique, autonome mais, en fait, une familiarité avec le calcul différentiel est nécessaire pour le suivre aisément et bien en profiter.

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Vektoranalysis

Dem Verlag und meinem Kollegen, Herrn Prof. P. C. Kendall, danke ich herzlich fer den Vorschlag, eine neue Ausgabe der "Vektoranalysis" in deutscher Ubersetzung vorzubereiten. Bei dieser Gelegenheit wurden einige kleine Fehler und andere Unebenheiten im Originaltext geandert. Eine weitere Verbesserung ist das hinzugefugte Kapitel uber kartesische Tensoren.

Introduction to Vectors and Tensors: Second Edition--Two Volumes Bound as One (Dover Books on Mathematics)

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17. La suite des moyennes arithm´etiques des termes d’une suite {an }n∈N est la suite {mn }n∈N d´efinie par mn = a1 + a2 + · · · + an . n Montrer que la suite {mn }n∈N est croissante si la suite {an }n∈N est croissante. 18. Montrer que la suite {mn }n∈N converge vers 0 si la suite {an }n∈N converge vers 0. 39 ´ ´ SERIES NUMERIQUES 5 La repr´esentation d´ecimale d’un nombre r´eel est en fait sa repr´esentation comme la somme d’une s´erie num´erique convergente, c’est-`a-dire comme la limite d’une suite num´erique d’un type particulier.

Exemple. L’´equation x2 − 3x + 1 = 0 admet deux racines simples, l’´equation 2 x − 2x + 1 = 0 admet une racine double (donc deux racines elle aussi) et l’´equation x2 − x + 1 = 0 n’admet aucune racine. Th´ eor` eme 28 (Lagrange) Donn´es x1 < x2 < · · · < xn+1 et y1 , y2 , . . , yn+1 quelconques, il existe un et un seul polynˆ ome de degr´e au plus n, Pn , tel que Pn (xk ) = yk pour k = 1, 2, . . , n + 1. D´emonstration. L’unicit´e d´ecoule directement du th´eor`eme pr´ec´edent, la diff´erence de deux tels polynˆomes devant admettre n + 1 z´eros.

Lorsque les conditions du th´eor`eme sont satisfaites, on ´ecrit lim f (x) = L x→x0 (lire : f (x) tend vers L lorsque x tend vers x0 ). Le th´eor`eme s’´etend sans peine aux cas o` u x0 = a (mˆeme si a = −∞) et au cas o` u x0 = b (mˆeme si b = +∞) — on parle alors de limites unilat´erales ; de fa¸con semblable, il reste vrai si L = +∞ ou si L = −∞ — lorsque les symboles +∞ et −∞ sont impliqu´es, le second ´enonc´e du th´eor`eme doit ´evidemment ˆetre adapt´e. La fonction f : (a, b) → R est continue en x0 ∈ (a, b) si lim f (x) = f (x0 ).

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